Pour aller plus loin (Ancien programme) - STMG

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres \( \mu = 2 \) et \( \sigma = 2 \).

Donner une valeur arrondie à \( 10^{-4} \) près de la probabilité \( P( -5 \leq X \leq -2 ) \) notée \( p \).

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres \( \mu = -4 \) et \( \sigma = 4 \).

Donner une valeur arrondie à \( 10^{-4} \) près de la probabilité \( P\left( X \leq-2,2 \right) \) notée \( p \).

En 2014, le robot Philae s'est posé sur la comète Tchouri après plus de dix ans de voyage dans l'espace. Les scientifiques purent ainsi pour la première fois étudier la composition d'une comète et ses propriétés.
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 20 ans.

Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 20)\) qu'une panne survienne lors des 20 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).

À quel ensemble doit appartenir \(a\) si l'on souhaite réduire cette probabilité à au plus 0,005 ? On attend le résultat sous la forme d'un intervalle : \(\left]0 ; l\right]\) avec \(l\) une valeur à déterminer.

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi continue uniforme sur \(\left[ -1 ; 2 \right]\).
Déterminer \(P\left( X \leq1 \right)\) .

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(4\).
Déterminer \(P\left( 5 \leq X \leq 8 \right)\) .